Помогите решить уравнение)

sin3x=sin2x+sinx

По формуле

sin2α=2sinαcosα

sin3x=2sin (3x/2) cos (3x/2)

По формуле

sinα+sinβ=2sin ((α+β) / 2) cos ((α-β) / 2)

sin2x+sinx=2sin ((2x+x) / 2) cos ((2x-x) / 2) =

=2sin (3x/2) cos (x/2)

Уравнение принимает вид:

2sin (3x/2) cos (3x/2) = 2sin (3x/2) cos (x/2)

или

2sin (3x/2) cos (3x/2) - 2sin (3x/2) cos (x/2) = 0

2sin (3x/2) (cos (3x/2) - cos (x/2)) = 0

Произведение двух множителей равно 0 когда хотя бы один из них равен, а другой при этом не теряет смысла.

1) sin (3x/2) = 0 (3 х/2) = πk, k∈Z

x = (2π/3) k, k∈Z

или

2) cos (3x/2) - cos (x/2) = 0

По формуле

сosα - cosβ = - 2sin ((α+β) / 2) sin (((α-β) / 2)

cos (3x/2) - cos (x/2) = - 2sinx cos (x/2)

2) принимает вид

-2sinxcos (x/2) = 0

sin (x/2) = 0 ⇒ х/2 = πn, n∈Z ⇒ х = 2πn, n∈Z

или

cos (x/2) = 0 ⇒ х/2 = (π/2) + 2πm, m∈Z ⇒ х=π+4πm, m∈Z.

О т в е т. x = (2π/3) k, х = 2πn, х=π+4πm, k, n, m∈Z