Легкое задание, помогите найдите промежутки монотонности функции и экстремумы:

а) у = (x-2) ² / (x+1)

б) у=√х-х

Решение

1.

а) у = (x - 2) ² / (x+1)

Находим первую производную функции:

y ' = - (x - 2) / (x + 1) ² + (2x - 4) / (x + 1)

или

y ' = [ (x - 2) * (x + 4) ] / (x + 1) ²

Приравниваем ее к нулю:

[ (x - 2) * (x + 4) ] / (x + 1) ² = 0

(x - 2) * (x + 4) = 0, x ≠ 0

x₁ = - 4

x₂ = 2

Вычисляем значения функции

f (- 4) = - 12

f (2) = 0

Ответ: fmin = - 12, f max = 0

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y '' = [2 * (x - 2) ² / (x + 1) ³ + 2 / (x + 1) - (4x - 8) / (x + 1) ²

или

y '' = 18 / (x + 1) ³

Вычисляем:

y '' = (- 4) = - 2/3 < 0

значит эта точка - максимума функции.

y'' (2) = 2/3 > 0

значит эта точка - минимума функции.

б) промежутки монотонности функции

y ' = [ (x - 2) * (x + 4) ] / (x + 1) ²

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

(x - 2) * (x+4) = 0

Откуда:

x₁ = - 4

x₂ = 2

(-∞; - 4) f' (x) > 0 функция возрастает

(-4; - 1) f' (x) < 0 функция убывает

(-1; 2) f' (x) < 0 функция убывает

(2; + ∞) f' (x) > 0 функция возрастает

В окрестности точки x = - 4 производная функции меняет

знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = - 4 - точка максимума.

В окрестности точки x = 2 производная функции меняет

знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума.

2.

а) у = √х - х

Находим первую производную функции:

y ' = - 1 + 1/2√x

Приравниваем ее к нулю:

- 1 + 1/2√x = 0

√x = 2/2

x = 1/4

Вычисляем значения функции

f (1/4) = 1/4

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y '' = - 1 / (4x³/²)

Вычисляем:

y '' (1/4) = - 2 < 0

значит эта точка - максимума функции.

б) промежутки монотонности функции

y ' = - 1 + 1/2√x

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

- 1 + 1/2√x = 0

Откуда:

x = 1/4

(-∞; 1/4) f' (x) > 0 функция возрастает

(1/4; + ∞) f' (x) < 0 функция убывает

В окрестности точки x = 1/4 производная функции меняет

знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1/4 - точка максимума.