Решить уравнение: 1) tgx·sin²y·dx+cos²x·ctgy·dy=0

2) y''-hy'=0 (h≠o)

3) y''+2y'+5=0

1) tgx·sin²y·dx+cos²x·ctgy·dy=0 - уравнение с разделяющимися переменными.

(tgxdx/cos ²x) = - ctgydy / sin²y

интегрируем

∫ (tgxdx/cos²x) = - ∫ctgydy / sin²y

или

∫tgxd (tgx) = ∫ctgyd (ctg y)

tg²x/2=ctg²y/2+с

или

умножим на 2 и обозначим С=2 с

tg²x=ctg²y+С

О т в е т. tg²x=ctg²y+С

2) Уравнение, допускающее понижение порядка.

Замена переменной

y'=z

y''=z'

z'-hz=0

Уравнение с разделяющимися переменными

dz/dx=hz⇒ dz/z=hdx

интегрируем

∫ (dz/z) = ∫hdx;

ln|z|=hx+c

z=e^ (hx+c) = C₁eˣ

y'=C₁eˣ - уравнение с разделяющимися переменными

у=С₁eˣ+C₂

О т в е т. у=С₁eˣ+C₂

3) Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение

k²+2k+5=0

D=4-4·5=-16

√D=4i

k₁,₂ = (-2±4i) / 2=-1 ±2i

Общее решение имеет вид

у=e⁻ˣ (С₁cos2β+C₂sin2β)

О т в е т. у=e⁻ˣ (С₁cos2β+C₂sin2β)