Найдите квадрат радиуса окружности с центром в точке (3; 5), касающейся прямой y=7x-6.

Уравнение окружности с центром в точке (3; 5)

(х-3) ² + (у-5) ²=R²

Поэтому надо найти такое R², при котором система уравнений

(х-3) ² + (у-5) ²=R²

у=7 х-6

Имеет только одно решение.

Подставляем у из второго уравнения в первое

(х-3) ² + (7 х-6-5) ²=R²

(х-3) ² + (7 х-11) ²=R²

х²-6 х+9+49 х²-154 х+121=R²

50x²-160x+130-R²=0

Это квадратное уравнение относительно х. Оно имеет одно решение только когда его дискриминант равен 0.

D=160²-4*50 * (130-R²) = 0

4 (80²-50 (130-R²)) = 0

6400-50 (130-R²) = 0

128-130+R²=0

R²=2