Интеграл (x+4) / ((x^3) - (x^2) - 2x) dx

X^3 - x^2 - 2x = x (x^2 - x - 2) = x (x + 1) (x - 2)

Все корни простые, тогда проще всего разложить дробь из подынтегрального выражения на простейшие (простите за три однокоренных слова в одном предложении).

f (x) = (x + 4) / x (x + 1) (x - 2) = A/x + B / (x + 1) + C / (x - 2)

Определим сначала, например, A. Домножим всё на x:

x f (x) = A + xB / (x + 1) + xC / (x - 2)

Подставляя x = 0, находим

A = 4 / (1 * (-2)) = - 2 (надо всего лишь "закрыть пальцем" множитель x и подставить в то, что осталось, x = 0)

Аналогично "методом пальца" получаем

B = 3 / ((-1) * (-3)) = 1

C = 6 / (2 * 3) = 1

Итак, f (x) = - 2/x + 1 / (x + 1) + 1 / (x - 2). Теперь интеграл легко берется, ответ

C - 2ln|x| + ln|x + 1| + ln|x - 2|