Решите уравнение (x^2-1) ^2 + (x^2-6x-7) ^2=0

Левая часть представляет собой сумму неотрицательных слагаемых, эта сумма обращается в ноль тогда и только тогда, когда оба слагаемых суть нули, если хоть одно из них отлично от нуля, то вся сумма (левая часть) отлична от нуля (больше нуля). Таким образом данное уравнение равносильно системе:

{ (x^2-1) ^2 = 0;

{ (x^2 - 6x - 7) ^2 = 0;

что равносильно

{ x^2-1 = 0;

{ x^2 - 6x - 7 = 0;

равносильно

{ x^2=1;

{x^2 - 6x - 7 = 0;

первое уравнение дает x1=1; или x2=-1;

x1 = 1, подставляем во второе уравнение последней системы:

1 - 6 - 7 = 0; - 12=0, ложное равенство, поэтому x1=1, не является решением системы.

x2 = - 1; подставляем во второе уравнение:

(-1) ^2 - 6 * (-1) - 7 = 1+6-7=0, верное равенство, таким образом

x=-1 единственное решение системы.

Ответ. x = (-1).